LÓGICA MATEMÁTICA

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Función enunciativa,

En la lógica formal se habla de predicados que a nivel elemental hablamos de funciones enunciativas, las cuales poseen una o dos variables, su característica  principal es que al ser remplazadas sus variables la expresión se convierte en enunciado, el conjunto donde tomamos los elementos para remplazar en las variables de la función enunciativa lo llamaremos DOMINIO  de la función enunciativa y se lo denota con D.

Cuantificadores:

Los cuantificadores más utilizados en lógica matemática son UNIVERSAL ∀  y EXISTENCIAL ∃ , el cuantificador universal se utiliza cuando todos los elementos del dominio  de la función enunciativa  cumplen con la propiedad, el cuantificador existencial se utiliza cuando existe al menos un elemento  que cumple la propiedad, es de saberse que cuando un cuantificador se antepone a una función, esta se convierte  en un enunciado, cuando se tiene los cuantificadores combinados y estos se los procede a negar lo que se debe realizar simplemente es de intercambiar a los cuantificadores y de esta forma queda negada la función enunciativa.

Razonamientos y reglas de Deducción:

En la lógica enunciativa encontramos las siguientes reglas, MODUS PONENS que consiste en que se tiene como premisas A → B y de lo cual se deduce B, ejemplo:

a: hace un bonito día

b: me voy de cacería

Aplicando  MODUS PONENS a los enunciados dados tenemos el siguiente razonamiento.

a → b ≡ si hace un bonito día entonces me voy de cacería

a: si hace un bonito día   “¿Qué hago? , ¿Qué deduzco?” b: me voy de cacería.

La regla de contra inversa se llama MODUS TOLLENS consiste en lo siguiente:

Si se tiene como premisa a → b y  ˥ b de lo cual se deduce ˥ a,  o sea si:  a → b  si se ˥ b entonces se ˥ a.

Ejemplo: 

a → b ≡ si hace un bonito día entonces me voy de cacería

Aplicando  MODUS TOLLENS  a estos enunciados tenemos el siguiente razonamiento.

a → b ≡ si hace un bonito día entonces me voy de cacería

˥b: no me voy de cacería  “¿Qué deduzco?”  ˥a: no hace un bonito día.

El SILOGISMO DISYUNTIVO  consiste en las siguientes premisas  a ˅ b  y  ˥ a  de lo cual se deduce b o sea:

a ˅ b  si  ˥ a se deduce que es igual a b.

Ejemplo: Si se afirma que;  Si  me gano la lotería  entonces  “o” me compro un auto “o” una casa. Supongamos  de haberme ganado la lotería  y no haberme comprado un auto. ¿Qué se puede deducir? Que compre una casa.

El SILOGISMO HIPOTÉTICO consiste en lo siguiente  se tienen la premisas  a → b  y  b → c  de lo cual se deduce que a → c.

Ejemplo: 

a: Paty gano el año

b: Le doy dinero a alguien

c: Paty se compra un libro

Aplicando el  SILOGISMO HIPOTÉTICO  obtengo el siguiente razonamiento, SI:

a → b ≡  Si Paty gana el año  entonces le doy dinero

b → c ≡ Si le doy dinero a Paty entonces se compra un libro;  Se deduce que:

a → c ≡ Si Paty gana el año entonces se compra un libro.

Se concluye que un razonamiento es correcto cuando  su regla de deducción es válida, es decir una regla es válida  cuando sucede que valiendo las premisas la conclusión sea falsa.

SISTEMA AXIOMÁTICO:

Es una forma que se emplea cuando se desea estudiar una teoría matemática, la cual en muchas ocasiones puede caer en un círculo vicioso, es decir tiene un regreso al infinito por lo cual se debería de detener en algún punto  y asumir ciertos conceptos  sin pretender definirlos.

En un sistema axiomático se presentan ciertos elementos los cuales son los:

CONCEPTOS PRIMITIVOS:

Son los que  se admiten sin dar una definición explicita, estos sirven de partida para definir los demás conceptos, ejemplo de esto son el punto, la recta y el plano.

CONCEPTOS DERIVADOS:

Estos se definen de manera explícita utilizando los conceptos primitivos, ejemplos de esto tenemos el segmento, triángulo, cuadrado, polígono, conjunto finito, etc.

AXIOMAS O POSTULADOS:

Son proposiciones  que decimos admitirlas sin demostrarlas, estas servirán para demostrar otras proposiciones  como los teoremas, los axiomas son definiciones implícitas  de los conceptos primitivos, ejemplo: Por dos puntos pasa una sola recta, el orden de los sumandos no altera la suma total.

TEOREMAS:

Son las proposiciones que se demuestran utilizando los axiomas  u otros teoremas ya demostrados ejemplo:

En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

En la demostración de los teoremas  se requiere demostrar otras proposiciones, estas proposiciones  que conviene demostrarlas  preliminarmente  se laman LEMAS  las otras proposiciones se las denomina  COROLARIO que en si es un teorema consecuencia de otro.

Las HIPOTÉSIS Y TESIS de un teorema  son en si la primera y segunda premisa del teorema, al demostrar una proposición  condicional, es importante comprender que no se trata de probar que vale la TESIS, por el contrario  que vale la  tesis  siempre y cuando valga la hipótesis, en consecuencia  la tesis es consecuencia de la hipótesis.

Una tesis y una hipótesis son equivalentes cuando son teoremas directos, si estos son inversos el teorema se denomina inverso, aunque  el inverso de un  teorema no siempre es un teorema.