Lógica Matemática

“Aprender matemáticas, física y química es muy difícil; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.”

http://www.monografias.com/trabajos4/logica/logica.shtml#ixzz4HeqHRqCW

Proposiciones y operaciones lógicas.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa (F, 0) o verdadera (V, 1) pero no ambas es decir una ambigüedad  a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática, las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula del alfabeto que generalmente son (p, q, r, s, t, etc.) dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Como se anotó anteriormente la determinación de verdadero o falso se lo puede representar utilizando la letra o el valor numérico, generalmente los valores numéricos se los emplea en la matemática binaria, los cuales son de gran utilidad.

Ejemplos:

p:         La tierra es plana.

q:         -17 + 38 = 21

r:          x > y-9

s:         El Barcelona será campeón en la presente temporada de futbol.

t:          Hola ¿cómo estás?

w:         Lava el coche por favor.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas:

Una proposición es compuesta cuando está formada por dos o más proposiciones simples las cuales estarán enlazadas o unidas por los conectores lógicos u operadores, estos se clasifican en negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional, bicondicional.

La Negación:

Este operador Not, se representada por los símbolos  ( ˥ ;   ͠   ), los cuales se leen no, ni. En conclusión es todo lo que se contradice o niega.

p	͠    p
͠    p	p

Ejemplo:

p: El Ecuador es un país amazónico.       

Si a esta proposición se la niega obtendremos:

˥ p: No es cierto que el Ecuador es un país amazónico.  

Conjunción (ᴧ):

También conocida o leído como (y);  u operador and, este generalmente se emplea como conector entre un par de proposiciones, para poder concretar un mejor y rápido aprendizaje de este operador lógico así como de los demás se recomienda memorizar o aprehender la clave de control que es: Si la primera premisa es verdadera y la segunda también los es, su conclusión o resultado también será verdadero, en casos diferentes su conclusión siempre será falsa; así como lo demuestra la tabla de verdad de este operador. 

p	q	p ᴧ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Disyunción inclusiva (V):

Se lo lee como (o), operador Or,  es usados como conector entre dos o más proposiciones, al igual que el anterior se sugiere memorizar o aprehender la clave de control que es; Si la primera proposición es falsa y la segunda también los es entonces su conclusión o resultado también será falso, caso contrario todo lo demás es verdadero.

p	q	p V q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Disyunción exclusiva (V):

Se usa como conector de las proposiciones, su clave de control es si las dos proposiciones son verdaderas o falsas al mismo tiempo  su conclusión o resultado será falso todo lo demás se determinara como verdadero.

p	q	p V q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Condicional (→):

Este conector lógico se lo puede leer  si entonces, entonces, solo si, etc, su clave de control se determina en que si la primera proposición es verdadera y la segunda proposición es falsa su conclusión o resultado será falso todo los demás sucesos tendrán como respuesta verdaderos.

p	q	p → q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Bicondicional (↔):

Se lo lee si solo si, si entonces si, las claves de control de este operador lógico son si ambas son verdaderas o ambas son falsa su respuesta o conclusión siempre serán verdaderas, todas las demás variantes se determinan como falsas, es de recalcar que esta tabla de verdad tiene un gran similitud con la tabla de verdad de la disyunción exclusiva, simplemente con sentido contrario.

p	q	p ↔ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Tablas de verdad de las proposiciones compuestas:

Es importante hacer conocer que una tabla de verdad estará formada de filas y columnas, las mismas que dependen exclusivamente de la cantidad de proposiciones que se presenten en el ejercicio, para un mejor entendimiento de esto se concluye que se puede determinar este número de renglones o filas,  aplicando la forma: 2ⁿ  donde n se remplaza por el número de proposiciones que se tiene, ejemplo: si el enunciado tiene dos proposiciones (p ; q) será 2² = 4 es decir cuatro renglones, si el enunciado tiene tres variables o proposiciones (p, q, r) esta tabla de verdad tendrá ocho renglones como lo demuestra el principio 2³ = 8.

Es recomendable usar particularmente valores numéricos para representar el orden de las operaciones dentro del enunciado planteado lo cual en cierta forma o manera facilita la comprensión y seguimiento de resolución del problema, al mismo tiempo que esto genera la simplicidad de formulación de la tabla ya que no se extiende colocando cada uno de las partes en las columnas de las tablas de verdad.

Para enumerar las operaciones es importante que el estudiante sea muy observador y prolijo al asignar el orden de operación esto generalmente se lo puede determinar de izquierda a derecha.

Tautologías, Contradicciones y Contingencias:

Se denomina tautología a la obtención del valor de VERDAD de un conjunto de proposiciones relacionadas con los diferentes conectores u operadores lógicos.

Una contradicción por el contrario como su nombre lo manifiesta es cuando se concluye con la obtención del valor de FALSEDAD del enunciado.

Pero cuando se concluye un enunciado y se determina en la tabla de verdad valores de Verdad y Falsedad al mismo tiempo esto se lo determina como una CONTINGENCIA.