APUNTES BÁSICOS SOBRE LÍMITES INFINITOS, LATERALES Y TRIGONOMÉTRICOS

LÍMITES AL INFINITO

Las indeterminaciones más comunes son:  

∞/∞ ; 0/0; 0⁰; ∞ - ∞; 0 (∞); ∞⁰;  1^∞.

Si tenemos:

∞+/- k = ∞;  ∞ + ∞ = ∞;  ∞ (+/- K) = +/- ∞;   ∞(∞)= ∞;   k/0 = ∞;   ∞/k= ∞;   ∞^∞= ∞

Cando se tiene una expresión polinómica fraccionaria  y la variable tiende al infinito, se debe realizar la división por el máximo exponente de la variable del ejemplo con ello se lograra salvar la expresión de la indeterminación, también podemos realizar los casos que a continuación se detallan.

Cuando se tiene dos funciones algebraicas partidas entre ellas y la expresión del denominador tiene mayor grado su respuesta siempre será ∞.

Por el contrario si es el numerador de mayor grado en la expresión polinómica este tendrá como respuesta siempre el 0.

Si ambas expresiones polinómicas tienen el mismo grado en su variable el resultado será igual al cociente de los coeficientes de las variables de mayor grado.

LÍMITES LATERALES

En algunas funciones como las definidas por partes y las de dominio restringido, como las que tienen raíces cuadradas. Distintas situaciones pueden presentarse con límites laterales en un punto: pueden existir y ser diferentes, ser iguales, no existir por un lado, o por los dos lados. Es claro que si los límites laterales son diferentes entonces el límite bilateral (ordinario) no existe, pues la función para tener límite debería tender a un solo número cuando x se acerca al punto considerado, para calcular límites laterales procedemos de manera similar a cómo se determinan los límites bilaterales.

Ejemplo: Dada la función, f(x)= √(x – 1) + 2, cuando el límite de x → 1^-

Al resolver √(-1 -1) + 2  tendremos √-2 + 2 pero las raíces negativas no están definidas en el campo de los reales, en consecuencia el límite por izquierda de 1 no se puede resolver, quedando de esta manera solo definido por derecha de 1.

Aplicando formula de la suma de límites: 

lim x→a+ (f(x) + g(x)) = lim x→a+ f(x) + lim x→a+ g(x) 

así como el principio de la raíz y la constante dadas en las propiedades básicas de los límites.

Hay que recordar que tanto en los límites laterales como en los ordinarios no importa que ocurre con el valor de la función en a. Puede estar definida y valer igual a los laterales o ser diferente o sencillamente no existir.

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

Estos límites no pueden resolver por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar directamente se obtiene la forma  0/0.

Para la resolución de límites trigonométricos debemos de considerar:

1.      (Sen x) /x = 1 cuando  x→0

2.      (1 – Cos x)/x = 0 cuando x→0

Así como las identidades trigonométricas:

Sen x = 1 / Csc x;  

Cos x = 1 / Sec x; 

Tan x = Senx /Cos x; 

Cot x = Cos x/Sen x;

Sen² x + Cos² x = 1; 

Sen² x = 1 - Cos² x; 

1+Tan²x = Sec²x; 

Tan²x = Sec²x – 1; 

1 + Cot²x = Csc² x;

Sen 2x = 2 SenxCos x; 

Cos 2x = 2 Cos² x-1    

Se debe considerar que uno de los principales objetivos es el de conseguir que la expresión dada se transforme a las constantes dadas uno y dos, con la aplicación de artificios matemáticos los cuales no afectan la expresión por el contrario facilitan su resolución.